2012年2月24日 星期五

1+1=2 到底怎麼證明

「數學,以正確的眼光觀之,所擁有的不只是真理,而且是至高無上的美—儉樸而冷酷,如同雕像擁有的美,沒有絲毫人類軟弱的本性,沒有畫作或音樂那麼絢爛的裝飾,他崇高而純粹,只有最偉大的藝術才能呈現他嚴格的完美。這種真正的喜悅,這種亢奮,不像人類所應體會到的存在。最優越的試金石,可以在數學中找到,當然詩中也可以找到。」 ───二十世紀英國著名的哲學家兼數學家羅素

據說在數學中最令羅素欣喜的是事情能夠被證明,有一次他想要證明1+1=2,就寫下了下面(如圖)看請來亂七八糟的證明


本圖翻拍自『數學小精靈』時報出版

一個眾人皆知的事情:1+1=2
一個大數學家還想證明它!難道他瘋了嗎?
其實從這裡我們可以看出一個數學家嚴謹的態度,
一個眾所公認的真理,必須經過邏輯(證明)的嚴格考驗

事情經過大概是這樣,二十世紀初,因物理上狹義相對論,及量子論推翻了古典物理,而數學家們因此想證明,數學是有堅固基礎,是不變的真理。所以希望能從邏輯上建立一個完整、嚴密的基礎,於是第一個當然針對自然數開始,希望能像歐氏幾何一樣,從基本公設,經由邏輯就可以得到完整的自然數系性質,所以歸結出三個公設,而羅素與他的老師懷海德合寫『數學原理』三大卷,就是做了一部份工作。
後來希爾伯特(Hilbert) 擬了一連串有關數學基礎的方案,計畫把數學的基礎轉化成邏輯,這樣一來,數學家就可以宣稱「數學是真理」。

不幸的是,1929年哥德爾(Godel) 23歲時證明了一個定理:

不完備性定理
如果有一個系統包含算術,而且這一系統的基本假設並不會互相矛盾,那麼這個系統中
一定存在一個命題,這一個命題的肯定或否定都無法證明

用通俗形式來說叫做『理髮師悖論』:
一個理髮師聲稱他給且只給不為自己理髮的人理髮。
那麼問題來了,這個理髮師是否給自己理髮?如果他不給自己理髮,那麼按照他的聲稱,他應該給自己理髮。如果他給自己理髮,那麼他便具有『不為自己理髮』性質的,也就是他不為自己理髮。

所以美夢破碎,數學並不只是邏輯而已。
但正如哥德爾所說,希爾伯特有關數學基礎的方案『仍不失其重要性,並繼續引起人們的高度興趣』。


參考資料:

1、維基百科哥德爾不完備定理

2、

漢斯.安森著/ 時報文化/ 2000/2/21出版:自然科普/數學/數學入門
導讀  如果你是一位家長,你有一個上中小學的孩子,如果你的孩子正陷入了「發燒友」、「追星族」的狂熱之中,而你又想改變孩子的興趣和注意力,使孩子樹立正確的人生觀和價值觀,那麼,建議你戴孩子去逛書店,為他選購幾本有正確價值取向,能鼓勵人...




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